Esempio per un suono puro sinusoidale

Forma dell'onda

Un'onda sferica sinusoidale può essere descritta da \begin{equation} u(t, \vec{r}) = \frac{A}{\left|\vec{r} - \vec{r}_o\right|} \sin\left(\omega t - k\left|\vec{r} - \vec{r}_o\right|\right), \end{equation} ove \(\vec{r}_o\) è la posizione della sorgente.

Immaginiamo di trovarci nell'origine ed avere la sorgente di onde sonore che si muove rispetto a noi. Supponiamo che la sorgente si muova di moto lineare uniforme con velocità \(\vec{v}_o\) parallela all'asse \(\hat{x}\) e che ci passi accanto. In questo caso avremo \begin{equation} \vec{r} = \vec{0} \qquad \& \qquad \vec{r}_o = \left(\begin{array}{c} x_o - v_o t \\ y_o \end{array}\right). \end{equation} Dimostriamo che con questa definizione di \(\vec{r}_o\) la velocità è parallela ad \(\hat{x}\): \begin{align} \vec{v}_o & = \frac{\mathrm{d} \vec{r}_o}{\mathrm{d} t} \\ & = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left(\begin{array}{c} x_o - v_o t \\ y_o \end{array}\right) \\ & = \left(\begin{array}{c} - v_o \\ 0 \end{array}\right). \end{align} Possiamo quindi riscrivere la forma dell'onda come \begin{align} u(t) & = u(t, \vec{0}) \\ & = \frac{A}{\left|\vec{r}_o\right|} \sin\left(\omega t - k\left|\vec{r}_o\right|\right) \\ & = \frac{A}{r_o} \sin\left(\omega t - kr_o\right) \end{align} ove \begin{align} r_o & = \sqrt{(x_o - v_o t)^2 + y_o^2}. \end{align}

Frequenza percepita

Avendo una sorgente in movimento allora noi osservatori percepiremo l'effetto Doppler del suono che giunge a noi. La frequenza che percepiremo è descritta dalla formula: \begin{equation} \nu = \left[\frac{c + v_\mathrm{r}}{c - v_\mathrm{s}}\right] \nu_o \end{equation} ove

  • \(c\) è la velocità di propagazione del suono nel mezzo;
  • \(\nu_o\) è la frequenza nominale di emissione della sorgente;
  • \(v_\mathrm{r}\) è la velocità del ricevente rispetto al mezzo di propagazione in direzione della sorgente (in questo esempio è nulla);
  • \(v_\mathrm{r}\) è la velocità della sorgente rispetto al mezzo di propagazione in direzione del ricevente.

Dobbiamo quindi calcolare la componente della velocità della sorgente \(\vec{v}_o\) lungo la congiungente con noi osservatori. L'angolo \(\theta\), ove si vede la sorgente rispetto all'asse delle ascisse \(\hat{x}\), è \begin{equation} \theta = \arctan\left[\frac{y_o}{x_o - v_o t}\right]. \end{equation}

La relazione che lega \(v_o\) e la sua proiezione lungo la congiungente è \begin{equation} \cos \theta = \frac{v_\perp}{v_o} \qquad \Rightarrow \qquad v_\perp = v_o \cos\theta. \end{equation} Sostituendo la velocità appena ottenuta nella formula della frequenza otteniamo: \begin{equation} \nu = \left[\frac{c}{c - v_o \cos\theta}\right] \nu_o, \end{equation} ove abbiamo messo un segno negativo perché la velocità ha verso negativo. L'angolo \(\theta\) può avere valori \begin{equation} \theta \in [0, \pi] \end{equation} di conseguenza possiamo calcolare la frequenza massima e la frequenza minima percepite. La frequenza sarà massima quando \(\theta = 0\), ove \(\cos\theta = 1\): \begin{equation} \nu_\mathrm{max} = \left[\frac{c}{c - v_o}\right] \nu_o. \end{equation} La frequenza sarà minima quando \(\theta = \pi\), ove \(\cos\theta = -1\): \begin{equation} \nu_\mathrm{min} = \left[\frac{c}{c + v_o}\right] \nu_o. \end{equation} Affinché si abbia che \(\theta = 0\) allora \(t\rightarrow -\infty\), mentre per \(\theta = \pi\) allora \(t\rightarrow +\infty\). Da un'analisi della funzione della frequenza si deduce che l'andamento è monotòno decrescente, per tutta la durata del moto della sorgente, e non ha massimi o minimi secondari. Un discorso diverso vale per l'intensità del suono che ha un massimo per il pundo di massimo avvicinamento, come vedremo nel prossimo paragrafo.

Intensità percepita

Ricordiamo che l'intensità del suono percepito è proporzionale all'ampiezza dell'onda \begin{equation} I(t) \propto \frac{A^2}{r_o^2} = \frac{A^2}{(x_o - v_o t)^2 + y_o^2} \end{equation} Anche in questo caso possiamo calcolare massimi e minimi della funzione. Quando \(t\rightarrow \pm\infty\) la funzione si annulla, mentre è massima per \((x_o - v_o t) = 0\) ovvero per \begin{equation} t = \frac{x_o}{v_o} \end{equation} che è il punto di massimo avvicinamento. Il valore massimo sarà \begin{equation} I_\mathrm{max} \propto \frac{A^2}{y_o^2} \end{equation}

Valori d'esempio

Avendo la sorgente una frequenza nominale di

\(\nu_o = \) Hz,

una velocità di

\(v_o = \) m/s,

una minima distanza di avvicinamento di

\(y_o = \) m,

ed una velocità di propagazione del suono nel mezzo di

\(c = \) m/s

possiamo calcolare gli estremi della frequenza percepita:

  • \(\displaystyle \nu_\mathrm{min} = \left[\frac{c}{c + v_o}\right] \nu_o = \) Hz
  • \(\displaystyle \nu_\mathrm{max} = \left[\frac{c}{c - v_o}\right] \nu_o = \) Hz

Un simpatico esempio è la simulazione del suono di una moto che ci passa accanto sul rettilineo del Mugello: utilizzate i valori: \(\nu_o\) = 330 Hz, \(y_o\) = 15 m, \(v_o\) = 330 km/h.

Esempio del suono risultante


Quest'opzione abilita la modulazione dell'intensità in funzione della distanza della sorgente da noi. Se si disabilita si sente solo la variazione del tono del suono e non dell'intensità.

Frequenza percepita in funzione del tempo

Intensità percepita in funzione del tempo

Esempio per un suono complesso

Forma dell'onda

Se il suono non è un'onda pura sinusoidale è necessario sfruttare la forma generale della soluzione dell'equazione delle onde: \begin{equation} u(t, \vec{r}) = \frac{1}{\left|\vec{r} - \vec{r}_o\right|}F\left(t - \frac{\left|\vec{r} - \vec{r}_o\right|}{c}\right) + \frac{1}{\left|\vec{r} - \vec{r}_o\right|}G\left(t + \frac{\left|\vec{r} - \vec{r}_o\right|}{c}\right) \end{equation} ove

  • \(c\) è la velocità di propagazione del suono nel mezzo;
  • \(\vec{r}\) è la posizione del ricevente (in questo caso è zero);
  • \(\vec{r}_o\) è la posizione della sorgente;
  • \(F(\cdot)\) è la forma d'onda di un'onda uscente dalla sorgente;
  • \(G(\cdot)\) è la forma d'onda di un'onda entrante nella sorgente.

Per questa simulazione siamo solo interessati a \(F(\cdot)\) e quindi la funzione risultante sarà \begin{equation} u(t) = \frac{1}{\left|\vec{r}_o\right|}F\left(t - \frac{\left|\vec{r}_o\right|}{c}\right) \end{equation} che diventa la funzione usata nel precedente esempio se \(F(\tau) = A \sin(\omega\tau)\).

Esempio per un file audio

La funzione \(F(\cdot)\) può essere una generica funzione e quindi può anche essere descritta da un file audio. Nell'esempio successivo il programma è in grado di estrarre le informazioni da un file audio, fornito dall'utente, e calcolarne la \(F(\cdot)\) corrispondente. Utilizzando poi la \(F(\cdot)\) prodotta, il programma simula una sorgente sonora che si muove come nell'esempio precedente e che emette il brano contenuto nel file.

Per praticità si è limitata la durata del suono generato ad un valore impostabile dall'utente. Il momento del massimo avvicinamento della sorgente è al centro dell'intervallo di tempo selezionato. È anche previsto un ritardo iniziale, in modo da far cominciare la riproduzione sonora da un punto selezionato del file audio.

Esempio del suono risultante da un file

È anche possibile caricare un file MP3 per ascoltare l'effetto sull'audio del file.