Esempio di Battimenti per un Suono

In generale un suono può essere descritto dalla funzione $$\begin{equation} u(t, x) = A \sin\left(\omega t - kx\right). \end{equation}$$ senza perdere di generalità, andiamo a semplificarci i conti considerando la funzione in $x = 0$ con $A = 1$: $$\begin{equation} u(t, x = 0) = \sin\left(\omega t\right). \end{equation}$$ Studiamo quindi cosa succede quando sommiamo due suoni diversi: $$\begin{equation} f(t) = \sin\left(\omega_1 t\right) + \sin\left(\omega_2 t\right). \end{equation}$$ È possibile riscrivere la funzione come il prodotto di due funzioni sinusoidali, usando le formule di prostaferesi: $$\begin{equation} f(t) = 2\cos\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}\, t\right)\cdot\sin\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}\, t\right) \end{equation}$$ La funzione può essere espressa come il prodotto di altre due funzioni chiamate modulante e portante: $$\begin{align} f(t) & = m(t) \cdot p(t) \\\\ m(t) & = 2\cos\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}\, t\right) & \text{Modulante} \\\\ p(t) & = \sin\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}\, t\right) & \text{Portante} \end{align}$$ Avendo le frequenze:

• $\nu_1 =$ 439 Hz
• $\nu_2 =$ 441 Hz

possiamo calcolare le frequenze delle due funzioni:

• $\displaystyle \frac{\nu_1 + \nu_2}{2} =$ 440 Hz
• $\displaystyle \left|\frac{\nu_1 - \nu_2}{2}\right| =$ 1 Hz

Ricordando che: $$\begin{equation} \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi \cdot \nu \end{equation}$$ possiamo calcolare i valori delle pulsazioni associate:

• $\omega_1 =$ 2758.32 rad/s
• $\omega_2 =$ 2770.88 rad/s
• $\displaystyle \frac{\omega_1 + \omega_2}{2} =$ 2764.60 rad/s
• $\displaystyle \left|\frac{\omega_1 - \omega_2}{2}\right| =$ 6.28 rad/s

Esempio del suono risultante

Durata [s]

Frequenza 1 [Hz] Frequenza 2 [Hz]

Nei grafici seguenti si vede come nei massimi della funzione modulante le due funzioni siano in fase, ovvero i massimi corrispondono e si sommano, mentre negli zeri della modulante i massimi delle due funzioni si cancellano a vicenda. Si consiglia di usare valori bassi di frequenza per visualizzare questo effetto nei grafici, ad esempio 7 Hz e 9 Hz, sebbene non siano frequenze udibili.