In generale un suono può essere descritto dalla funzione \begin{equation} u(t, x) = A \sin\left(\omega t - kx\right). \end{equation} senza perdere di generalità, andiamo a semplificarci i conti considerando la funzione in \(x = 0\) con \(A = 1\): \begin{equation} u(t, x = 0) = \sin\left(\omega t\right). \end{equation} Studiamo quindi cosa succede quando sommiamo due suoni diversi: \begin{equation} f(t) = \sin\left(\omega_1 t\right) + \sin\left(\omega_2 t\right). \end{equation} È possibile riscrivere la funzione come il prodotto di due funzioni sinusoidali, usando le formule di prostaferesi: \begin{equation} f(t) = 2\cos\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}\, t\right)\cdot\sin\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}\, t\right) \end{equation} La funzione può essere espressa come il prodotto di altre due funzioni chiamate modulante e portante: \begin{align} f(t) & = m(t) \cdot p(t) \\\\ m(t) & = 2\cos\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}\, t\right) & \text{Modulante} \\\\ p(t) & = \sin\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}\, t\right) & \text{Portante} \end{align} Avendo le frequenze:
  • \(\nu_1 = \) Hz
  • \(\nu_2 = \) Hz
possiamo calcolare le frequenze delle due funzioni:
  • \(\displaystyle \frac{\nu_1 + \nu_2}{2} = \) Hz
  • \(\displaystyle \left|\frac{\nu_1 - \nu_2}{2}\right| = \) Hz
Ricordando che: \begin{equation} \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi \cdot \nu \end{equation} possiamo calcolare i valori delle pulsazioni associate:
  • \(\omega_1 = \) rad/s
  • \(\omega_2 = \) rad/s
  • \(\displaystyle \frac{\omega_1 + \omega_2}{2} = \) rad/s
  • \(\displaystyle \left|\frac{\omega_1 - \omega_2}{2}\right| = \) rad/s
Esempio del suono risultante

Nei grafici seguenti si vede come nei massimi della funzione modulante le due funzioni siano in fase, ovvero i massimi corrispondono e si sommano, mentre negli zeri della modulante i massimi delle due funzioni si cancellano a vicenda. Si consiglia di usare valori bassi di frequenza per visualizzare questo effetto nei grafici, ad esempio 7 Hz e 9 Hz, sebbene non siano frequenze udibili.